Tychonoff 定理

说明

证明（Alexander 子基引理 + 选择公理）。 记 $X = \prod_{i\in I} X_{i}$，投影 $p_{i} : X\to X_{i}$。取子基

Alexander 子基引理：拓扑空间紧 $\iff$ 每个由子基成员组成的覆盖都有有限子覆盖。所以只需验证后者。 设 $\mathcal{S}_{0} \subseteq \mathcal{S}$ 覆盖 $X$，反设它没有有限子覆盖。对每个 $i$ 记

• $F_{i} \ne \emptyset$：否则 $\mathcal{U}_{i}$ 是紧空间 $X_{i}$ 的开覆盖，取有限子覆盖 $U_{1},\ldots,U_{n}$，对应的 $p_{i}^{-1}(U_{1}),\ldots,p_{i}^{-1}(U_{n})$ 就是 $X$ 的有限子覆盖 —— 与反设矛盾 ✓。
• 由选择公理取 $x_{i} \in F_{i}$，令 $x := (x_{i})_{i\in I} \in X$。
• 于是对每个 $p_{i}^{-1}(U_{i})\in \mathcal{S}_{0}$ 都有 $x_{i} \notin U_{i}$（因 $x_{i}\in F_{i}$），故 $x \notin p_{i}^{-1}(U_{i})$ 对所有成员成立 —— 与 $\mathcal{S}_{0}$ 覆盖 $X$ 矛盾 ✓。

所以每个子基覆盖都有有限子覆盖，由 Alexander 引理 $X$ 紧。∎ （Alexander 引理本身：若某覆盖族无有限子覆盖，用 Zorn 把它扩成一个极大的这种族 $\mathcal{M}$，则「非 $\mathcal{M}$ 成员」的取法给出一族与子基有关的数据，逐条推出 $\mathcal{M}$ 其实是覆盖、矛盾。）

⭐ Tychonoff 与选择公理等价（在 ZF 里互相推出）—— 这是「选择公理有多强」的一个标准刻度。