仿紧性与单位分解

说明

证明（两个方向）。 $(\Longleftarrow)$ 单位分解给出局部有限的加细。 设 $\{\rho_{i}\}$ 是从属于覆盖 $\{U_{i}\}$ 的单位分解。由单位分解的定义，$\operatorname{supp}\rho_{i} \subseteq U_{i}$ 且这族支撑是局部有限的 ✓；于是 $\{ \rho_{i}^{-1}\bigl((0,1]\bigr) \}$ 是 $\{U_{i}\}$ 的一个开加细，且仍然局部有限（每个点是有限多个支撑之外的点）✓ —— 这正是仿紧（在 Hausdorff 前提下）要求的「每个开覆盖都有局部有限开加细」。正规的情形同理（局部有限覆盖取局部有限的 $\{\operatorname{supp}\rho_{i}\}$）✓。 $(\Longrightarrow)$ 用正规性逐步造 $\rho_{i}$。

• 先取一个局部有限的开加细 $\{V_{i}\}$（仿紧的定义；正规的情形直接取自局部有限覆盖本身）✓；
• 正规性给出：存在开集 $W_{i}$ 使 $\overline{W_{i}} \subseteq V_{i}$ 且 $\{W_{i}\}$ 仍覆盖 $X$（这是正规空间的标准「收缩」引理，由 Urysohn 引理或它的变体得到）✓；
• 对每对 $(\overline{W_{i}}, X \setminus V_{i})$（不交闭集）用 Urysohn 引理取连续函数 $g_{i} : X \to [0,1]$ 使 $g_{i}|_{\overline{W_{i}}} = 1$、$g_{i}|_{X\setminus V_{i}} = 0$ ✓；
• 令 $g := \sum_{i} g_{i}$：局部有限性保证这是局部有限和，故 $g$ 连续 ✓，且因为 $\{W_{i}\}$ 覆盖 $X$，每点处 $g \ge 1$（至少一项为 1）✓；
• 取 $\rho_{i} := g_{i}/g$ ✓：非负、和恒为 1、$\operatorname{supp}\rho_{i} \subseteq V_{i} \subseteq U_{i}$，且支撑仍局部有限 ✓。

于是得到从属于原覆盖的单位分解 ✓。∎

⭐ 这条是延拓定理的引擎：单位分解把「局部定义的东西」加权求和成整体定义的函数 —— Tietze / Dugundji 型延拓、流形上的积分与 Stokes 定理，用的都是这一招。

⚠️ 局部有限不能省：没有局部有限性，$\sum \rho_{i} = 1$ 只是一个「点态」的断言，逐点求和出来的函数未必连续。