积拓扑

积拓扑与乘积空间（Product Topology）

定义
依赖深度 layer 6
拓扑学
拓扑空间

def.product-topology · 定义 · 拓扑 · 乘积 · 投影

又称积拓扑·product topology·乘积空间·投影

陈述

设 $(X_{i}, \mathcal{T}_{i})_{i \in I}$ 是一族拓扑空间。 $\prod_{i \in I} X_{i}$ 上的积拓扑是以

\prod_{i \in I} U_{i} \qquad (U_{i} \in \mathcal{T}_{i},\ \text{除有限多个 } i \text{ 外 } U_{i} = X_{i})

为基的拓扑 —— 也就是使所有投影 $\pi_{j} : \prod_{i} X_{i} \to X_{j}$ 都连续的最粗拓扑。

说明

⭐ 「最粗」是关键字：投影要连续，只要求每个 $\pi_{j}^{-1}(U_{j})$ 是开的；把这些取有限交当基，就是积拓扑。要求更细反而会丢掉极限 —— 而「 $x_{n} \to x$ $\iff$ 按每个分量都收敛」正是这条最粗性换来的。

范畴意义： $\prod_{i} X_{i}$ 连同投影就是 $\mathbf{Top}$ 里的积。所以积拓扑不是随便挑的，它是泛性质唯一确定的那一个。

它指向谁（出边）

定义引用 5

商映射与局部紧空间作积用到本页定义引用

结论说的是乘积空间 $X \times Z \to Y \times Z$ 。
弱 Hausdorff 的基本性质用到本页定义引用

对角 $\Delta_{X}$ 住在乘积 $X \times X$ 里。
商映射与局部紧空间作积用到本页定义引用

结论说的是乘积 $X \times Z \to Y \times Z$ 。
k-化与积用到本页定义引用

式子说的是积与 $k$ -化的交换。
Tychonoff 定理用到本页定义引用

积带积拓扑。

谁指向它（入边）

定义引用 2

拓扑空间与开集 → 本页定义引用

积拓扑是拓扑空间族上的构造。
基与子基 → 本页定义引用

积拓扑取的是那族「有限多分量真开」的集合作基。

参考

Munkres, Topology

常见问法 1 条

积拓扑是什么也看商拓扑、紧生成空间

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