Hausdorff 空间是反射子范畴

说明

证明。 把 $X$ 里「不能被子开集分开」的点粘起来：定义 $x \sim y$ $\iff$ $x, y$ 在 $X$ 的每个开覆盖式的分离里都同进同出（等价地：$X$ 到任何 Hausdorff 空间的连续映射都把 $x,y$ 映到同一点）✓。商 $X/\!\sim$ 是 Hausdorff ✓，而且任何连续映射 $X \to H$（$H$ Hausdorff）唯一地穿过它 ✓ —— 这正是反射的泛性质 ✓。∎