基与子基

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Stone ⟺ 投射有限推出
  Stone 空间 $\iff$ 投射有限空间

  （$\Longleftarrow$） 投射有限空间是 Stone 空间的有向极限。Stone 空间对极限封闭（Stone 空间是反射子范畴的推论），而有限离散空间显然是 Stone 空间，所以极限仍是 Stone。∎

  （$\Longrightarrow$） 设 $S$ 是 Stone 空间。先证闭开集构成拓扑基。

  取 $x \in S$ 与开邻域 $O \ni x$。令 $\mathcal{F} = \{K : K \text{ 闭开},\ x \in K\} \cup \{\, O^{c} \,\}$，则 $\bigcap \mathcal{F} = \emptyset$：$O^{c}$ 与「含 $x$ 的闭开集」的交为空，因为 $x \notin O^{c}$。由 $S$ 紧，存在有限个 $K_{1}, \ldots, K_{n}$ 使

  $$(K_{1} \cap \ldots \cap K_{n}) \cap O^{c} = \emptyset$$

  令 $U := K_{1} \cap \ldots \cap K_{n}$，它是闭开的、含 $x$、且 $U \subseteq O$。所以闭开集构成基。

  现在看有限闭开划分的集合：$\mathcal{E} := \{\, E \subseteq \operatorname{Open}(S) \setminus \{\emptyset\} : E \text{ 有限},\ E \text{ 中元素两两不交且闭开},\ \bigcup E = S \,\}$，按「加细」构成一个逆向系统（加细是部分序，任意两个划分都有公共加细，所以它是有向的）。每个划分 $E$ 给出商映射 $S \to E$（送 $x$ 到包含它的那一块），目标有限离散。

  由此得到连续映射 $S \to \varprojlim_{E} E$。它是连续双射：闭开集构成基保证任何两个单点都能被某个划分分开（单射），而满射性由每块都非空得到。紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同胚，于是 $S \cong \varprojlim_{E} E$，即 $S$ 投射有限。∎

  两头各用了一条前面的结论：正向用闭开集构成基（这是「全不连通 + 紧」的直接后果），反向用 Stone 空间对极限封闭。

定义引用 2

• 距离空间 用到 本页定义引用

  距离空间里「开球全体构成这个拓扑的一组基」——这就是基的定义的一个标准例子。

• 积拓扑 用到 本页定义引用

  积拓扑取的是那族「有限多分量真开」的集合作基。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 拓扑空间与开集 → 本页定义引用

  基是开集族里挑了「表现良好」的一部分：每个开集都由它并出来。