子空间拓扑

子空间拓扑（Subspace Topology）

定义
依赖深度 layer 5
拓扑学
拓扑空间

def.subspace-topology · 定义 · 拓扑 · 子空间

又称子空间拓扑·subspace topology·相对拓扑·诱导拓扑

陈述

设 $(X, \mathcal{T})$ 是拓扑空间， $Y \subseteq X$ 。 $Y$ 上的子空间拓扑取

\mathcal{T}_{Y} := \{\, U \cap Y : U \in \mathcal{T} \,\}

这样得到的拓扑是使含入映射 $Y \hookrightarrow X$ 连续的最粗拓扑。

说明

直观：子空间的开集就是「大空间的开集切一刀」。所以「 $Y$ 中闭」「 $Y$ 中紧」都要按切出来的那片来判断，不能直接看大空间里的样子 —— 例如 $(0, 1) \subseteq \mathbb{R}$ 在自身中是闭的，在 $\mathbb{R}$ 中不是。

它指向谁（出边）

定义引用 1

CGWH 的开闭子空间与滤过余极限用到本页定义引用

结论说的是子空间。

谁指向它（入边）

定义引用 2

拓扑空间与开集 → 本页定义引用

子空间拓扑是拿大空间的拓扑里的开集与 $Y$ 求交得到的。
子集 → 本页定义引用

$Y \subseteq X$ —— 先有子集，才谈得上它上面的子空间拓扑。

参考

Munkres, Topology

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