正规空间

说明

分离公理的层级（都是往上加强）：

• $T_{1}$：单点是闭集；
• Hausdorff：两点可被开集分开；
• 正则：点与不含它的闭集可分开 $\implies$ Hausdorff；
• 正规：两个不交闭集可分开 $\implies$ 正则。

紧 Hausdorff $\implies$ 正规（这是紧性最常用的一个推论：两个不交闭集在紧空间里能被有限多个开集对分开）。所以 $[0,1]$、$\beta I$ 这些空间都是正规的 —— 于是 Urysohn 引理在那里永远能用。

⚠️ 正规性不是遗传的：正规空间的子空间未必正规。这一点与「紧」「Hausdorff」都不同。