同胚

说明

⭐ 同胚 = 「拓扑上分不出来」：一切拓扑性质（紧性、连通性、Hausdorff、闭包）都保持不变。

⚠ 反过来也要当心：度量性质在同胚下会变。$\mathbb{R}$ 与开区间 $(0, 1)$ 同胚（$x \mapsto \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan x$），但前者完备、后者不完备 —— 这就是「完备性不是拓扑性质」的经典例子，也是距离空间里「紧 / 闭」与「完备 / 全有界」两类性质的分界线。