正规空间的邻域里有闭邻域

说明

证明。 给邻域 $U \ni x$。取 $x$ 的闭邻域 $F \subseteq U$：由正规性造开集 $W$ 使 $x \in W \subseteq \overline{W} \subseteq U$ ✓（正规 = 不交闭集可被开集分开，把 $\{x\}$ 与 $X \setminus U$ 分开），于是 $\overline{W}$ 就是所含的闭邻域 ✓。∎

⭐ 用处：紧空间里闭子集紧，所以「邻域含闭邻域」在紧 Hausdorff 里就变成「邻域含紧邻域」—— 这正是局部紧的常见来源。