CGWH 的开闭子空间与滤过余极限

说明

第 2 条正是凝聚态数学里反复要用的那一条：把「由有限块拼起来的对象」按滤过余极限拼大，$\mathrm{CGWH}$ 的性质不会掉。

证明。

• 开子空间：$U \subseteq X$ 开。紧 Hausdorff 的 $g : S\to U$ 的像 $g(S)$ 在 $X$ 中闭，故在 $U$ 的子空间拓扑里 $g(S) = g(S)\cap U$ 闭 $\implies$ $U$ 弱 Hausdorff ✓；$k$-化与「取开子空间」交换（$k$ 拓扑由沿紧 Hausdorff 块拉回刻画，而块落进 $U$ 与否是局部条件）$\implies$ $U$ 紧生成 ✓。
• 闭子空间：$A \subseteq X$ 闭。紧 Hausdorff 的 $g : S\to A$ 的像在 $X$ 中闭且含于 $A$，故在 $A$ 中闭 $\implies$ 弱 Hausdorff ✓；$A$ 紧生成同样由「$k$-化与取闭子空间交换」得到 ✓。
• 沿闭含入的滤过余极限：对极限 $X = \varinjlim_{i\in I} X_{i}$（闭含入、$I$ 滤过），先有一条标准引理：$X$ 中的闭集就是那些与每个 $X_{i}$ 的交都闭的集合（余极限拓扑 + $X_{i}$ 闭），于是每个 $X_{i}$ 在 $X$ 中闭 ✓。
• $X$ 弱 Hausdorff：取紧 Hausdorff 的 $g : S \to X$。由上面那条引理与 $S$ 紧，$g(S)$ 落在某一个 $X_{i}$ 里（这是滤过余极限的标准「紧集落进一块」引理）；又 $X_{i}$ 在 $X$ 中闭、$g$ 经由 $X_{i}$ 的像在 $X_{i}$ 中闭 $\implies$ $g(S)$ 在 $X$ 中闭 ✓。
• $X$ 紧生成：由余极限的闭集刻画（逐块判定）与每块紧生成，逐块验证即得 ✓。∎