紧 Hausdorff 上的函数空间是度量空间

命题：SS 紧 Hausdorff、XX （半）度量（完备）  ⟹  C(S,X)\implies C(S, X) 也是

prop.continuous-map-space-metric · 命题 · 紧开拓扑 · 函数空间 · 度量空间 · 完备

又称Exercise 2.29

陈述

设 SS 是紧 Hausdorff 空间、XX 是（半）度量空间（resp. 完备）。则连续函数空间 C(S,X)C(S, X) 的紧开拓扑来自一个（半）度量（resp. 并且是完备的），即

d(f,g):=sup⁡s∈S d(f(s), g(s)).d(f, g) := \sup_{s \in S}\ d\bigl(f(s),\ g(s)\bigr).

说明

证明。 SS 紧、dd 连续，所以 s↦d(f(s),g(s))s \mapsto d(f(s), g(s)) 连续因而取到上确界 ✓，上式是有限值，给出（半）度量；它诱导的正是紧开拓扑（等度连续/一致收敛就是紧开拓扑在紧空间上的样子）✓。完备性：给 Cauchy 列，由一致收敛取逐点极限 ff，一致收敛保证 ff 连续 ✓，且它在同一度量下收敛 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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