kX 是紧空间的余极限

说明

证明。 按 $k$-拓扑的定义，$U \subseteq kX$ 开 $\iff$ 对每个连续 $g : S \to X$（$S$ 紧 Hausdorff），$g^{-1}(U)$ 在 $S$ 中开。 另一方面，$\mathbf{Top}$ 里一张图 $\mathcal{D}$ 的余极限 $L$ 的拓扑有标准刻画：$U \subseteq L$ 开 $\iff$ 对图上每个对象的「余射」$D_{i} \to L$，$U$ 的拉回在 $D_{i}$ 中开。 把图取成「对象 = 全体连续映射 $g : S \to X$；态射 = 使三角形交换的连续映射」：余射就是 $g$ 本身，于是 $L$ 上的拓扑正是「由全体 $g$ 拉回定出的 $k$-拓扑」，即 $L = kX$（两者有同一个底集合同一个开集族）。∎ ⭐ 读法：这条把「$k$-化」翻译成了「用紧 Hausdorff 块拼出来」。于是 $X$ 紧生成 $\iff$ $X$ 就是它自己那些紧 Hausdorff 块的余极限 —— 后面所有关于 $k\mathbf{Top}$ 的论证都可以在块上做，再沿余极限抬上去。