离散时函数空间是积

说明

证明。 比较两边的基本开集。

• $X$ 离散时，紧 Hausdorff 的 $g : S \to X$ 的像 $g(S)$ 是有限集（紧 $\implies$ 有限，因为 $X$ 上只有离散拓扑，紧子集有限）。于是紧开拓扑的生成元是

• 而 $\{f : f(x) \in V\}$ 正是积拓扑（$Y^{X} = \prod_{x\in X} Y$）下的基本开集（只有 $x$ 那个坐标被限制）。所以两边由同一族基本开集生成，恒等映射是同胚。∎

⭐ 这就是「指数律在离散指数下平凡成立」那条：$Y^{X}$ 的积拓扑就是紧开拓扑。这也说明紧开拓扑的信息量：非离散的 $X$ 上，积拓扑太细（那是「逐点收敛」拓扑），紧开拓扑才是对的。