弱 Hausdorff 的基本性质

说明

为什么叫「弱」Hausdorff。 Hausdorff 要求任意两点的开邻域能分开；弱 Hausdorff 只要求「紧块的像是闭的」—— 条件弱得多，却正好够用：出现在 $\mathrm{CGWH}$ 里的那些构造（商、函数空间、纤维积）都不需要全 Hausdorff。

⚠️ 弱 Hausdorff 不蕴含 Hausdorff（存在紧生成的弱 Hausdorff 而非 Hausdorff 的空间）；但它蕴含 $T_{1}$，上面第二条就是。

对角那条的作用：$\Delta_{X}$ $k$-闭 $\iff$ 「两个映射相等的点集」是 $k$-闭的 —— 这与 $T_{1}$、$T_{2}$ 在一般拓扑里的刻画（对角闭）平行，只是这里闭的判据换成了 $k$-闭。紧生成是让这个等价反过来的补充条件。

证明。 五条都只用定义。

• 紧 Hausdorff 子空间闭：$K \subseteq X$ 紧 Hausdorff，含入 $K \hookrightarrow X$ 就是定义里的那个 $f$，故 $K = f(K)$ 闭。
• $T_{1}$：单点 $\{x\}$ 是紧 Hausdorff 空间（它自己的）的像，故闭 —— 单点闭就是 $T_{1}$。
• $f(S)$ 紧 Hausdorff：$f(S)$ 紧（连续像），且由定义它在 $X$ 中闭；闭子空间的子空间拓扑是 Hausdorff 的，故 $f(S)$ 紧 Hausdorff。
• $\Delta_{X}$ 是 $k$-闭的：取紧 Hausdorff 的 $g = (g_{1}, g_{2}) : T \to X\times X$。$g_{1}(T)$、$g_{2}(T)$ 由上一款是紧 Hausdorff，故 $g_{1}(T)\times g_{2}(T)$ 紧 Hausdorff，于是 $\Delta_{X} \cap \bigl(g_{1}(T)\times g_{2}(T)\bigr) = \Delta_{g_{1}(T)}$（两个紧 Hausdorff 集的「相等点」）在其中闭；而 $g^{-1}(\Delta_{X}) = g^{-1}\bigl(\Delta_{X}\cap(g_{1}(T)\times g_{2}(T))\bigr)$ 是闭集的逆像，闭 ✓。
• 反过来（$X$ 紧生成 + $\Delta$ $k$-闭 $\implies$ 弱 Hausdorff）：取 $f : S\to X$（$S$ 紧 Hausdorff），要证 $f(S)$ 闭。$X$ 紧生成，故只需证对每个紧 Hausdorff 的 $h : T \to X$，$h^{-1}\bigl(f(S)\bigr)$ 在 $T$ 中闭。而

其中 $(f,h)^{-1}(\Delta_{X})$ 在 $S\times T$ 中闭（$S\times T$ 紧 Hausdorff，$\Delta$ $k$-闭）；而 $\operatorname{pr}_{T} : S\times T\to T$ 是闭映射（$S$ 紧），故 $h^{-1}(f(S))$ 闭 ✓。

• $\ker(f,g)$ 是 $k$-闭的：$\ker(f,g) = (f,g)^{-1}(\Delta_{Y})$，而 $k$-闭集沿连续映射的拉回仍 $k$-闭（用紧 Hausdorff 测试：$(f,g)\circ h$ 连续，$h^{-1}(\ker) = ((f,g)\circ h)^{-1}(\Delta_{Y})$ 闭）。∎