紧生成空间对积封闭

说明

证明。 用的都是已经有的零件。

• $X$ 紧生成 $\iff$ $X$ 是它自己那些紧 Hausdorff 块的余极限：$X = \varinjlim_{i} S_{i}$（上一条），$S_{i}$ 紧 Hausdorff；
• $Y$ 局部紧 Hausdorff $\implies$ 函子 $-\times Y$ 保余极限（它有右伴随 $C(Y, -)$）；于是

• 每一项 $S_{i} \times Y$ 紧生成：它是局部紧 Hausdorff 空间（紧 $\times$ 局部紧 $=$ 局部紧 Hausdorff），而局部紧 Hausdorff $\implies$ 紧生成（每个点有紧邻域）✓；
• 紧生成空间在 $\mathbf{Top}$ 里的余极限仍紧生成：含入 $k\mathbf{Top} \hookrightarrow \mathbf{Top}$ 是左伴随（它有右伴随 $k$），左伴随保余极限，故 $k\mathbf{Top}$ 里的余极限就是 $\mathbf{Top}$ 里的余极限，且结果紧生成。

于是 $X \times Y$ 是紧生成空间的余极限，自身紧生成。∎ ⚠️ $Y$ 局部紧不能省：一般拓扑空间之间的积不保商映射，而「$-\times Y$ 保余极限」正是这一条目的等价说法。