CG 的指数伴随

说明

两个立刻的推论：左伴随保余极限，所以 $X \mapsto k(X \times Y)$ 保紧生成空间的余极限；右伴随保极限，所以 $Z \mapsto kC(kY,Z)$ 保极限。

⭐ 余极限在 $k\mathbf{Top}$ 里是万有的。 因为「乘 $Y$」有右伴随，它与余极限交换，这正是余极限万有（把余极限沿任意态射拉回还是余极限）的条件。这一点在 $\mathbf{Top}$ 里不成立 —— 也是「非要在 $k\mathbf{Top}$ 里做事」的又一条理由。

证明（伴随 = 自然双射）。 要证的是自然双射

• 左边：$k$-化是余反射（含入 $i$ 有右伴随 $k$），故对紧生成的 $Z$ 有 $\operatorname{Hom}_{k\mathbf{Top}}(kA, Z) = \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(A, Z)$；取 $A = X\times Y$ 得左边 $= \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(X\times Y,\ Z)$。
• 右边：同理 $\operatorname{Hom}_{k\mathbf{Top}}(X, kC(kY,Z)) = \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(X, C(kY,Z))$。
• 中间的 currying：集合层面永远有双射 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(X\times Y, Z) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(X, C(Y,Z))$（把 $f$ 送到 $x\mapsto f(x,-)$）；拓扑层面，$Z$ 紧生成时「连续性可由紧 Hausdorff 块检验」，而 $kY$ 的紧块就是 $Y$ 的紧块，故 $C(Y,Z)$ 与 $C(kY,Z)$ 上的紧开拓扑一致。

两条合起来给出自然双射，即 $k(X\times Y) \dashv kC(kY, -)$。∎ 顺带的两个推论（伴随的一般性质）：左伴随 $X\mapsto k(X\times Y)$ 保余极限；右伴随 $Z\mapsto kC(kY,Z)$ 保极限。前者正是「$-\times Y$ 在 $k\mathbf{Top}$ 里保余极限」，也是上面「$\mathrm{CGWH}$ 对积封闭」那条用的零件。