函数空间弱 Hausdorff

$Y$ 弱 Hausdorff $\implies$ $kC(X,Y)$ 弱 Hausdorff

prop.cg-function-space · 拓扑 · 弱 Hausdorff · 紧开拓扑 · 函数空间

又称函数空间弱 Hausdorff·kC(X,Y)·Exercise 4.10·Exercise 2.38

陈述

若 $Y$ 弱 Hausdorff，则 $kC(X, Y)$ （紧开拓扑再取 $k$ -化）也弱 Hausdorff。

证明。 取紧 Hausdorff 的 $g : T \to kC(X, Y)$ ，要证 $g(T)$ 在 $kC(X,Y)$ 中闭。 $kC(X,Y)$ 紧生成，故只需证：对每个紧 Hausdorff 的 $T'$ 与连续 $h : T'\to kC(X,Y)$ ，

A := \{\, t'\in T' : h(t')\in g(T) \,\}

在 $T'$ 中闭。

由指数律（ $T, T'$ 紧 Hausdorff $\implies$ 局部紧 Hausdorff）， $g, h$ 分别对应连续的 $\hat g : T\times X\to Y$ 、 $\hat h : T'\times X\to Y$ ；
$X$ 紧生成，所以「两个映射 $X\to Y$ 相等」只需沿所有紧 Hausdorff 的 $a : S\to X$ 验证。于是

A = \operatorname{pr}_{T'}\Bigl(\bigcap_{(S,a)} B_{S,a}\Bigr), \qquad B_{S,a} := \{\,(t',t)\in T'\times T : \hat h\bigl(t',a(s)\bigr) = \hat g\bigl(t,a(s)\bigr)\ \ \forall s\in S\,\};

每个 $B_{S,a} = \operatorname{pr}_{T'\times T}\bigl(\theta_{S,a}^{-1}(\Delta_{Y})\bigr)$ ，其中 $\theta_{S,a} : T'\times T\times S \to Y\times Y$ ， $(t',t,s)\mapsto\bigl(\hat h(t',a(s)),\ \hat g(t,a(s))\bigr)$ 连续。 $T'\times T\times S$ 紧 Hausdorff，而 $\Delta_{Y}$ 是 $k$ -闭的，故 $\theta_{S,a}^{-1}(\Delta_{Y})$ 闭；又 $S$ 紧 $\implies$ 投影 $T'\times T\times S\to T'\times T$ 闭，所以 $B_{S,a}$ 闭；闭集之交 $B$ 闭；最后 $T$ 紧 $\implies$ $\operatorname{pr}_{T'} : T'\times T\to T'$ 闭，故 $A$ 闭 ✓。∎

三步关键：① $X$ 紧生成让「函数相等」可以沿紧块检验；② $Y$ 弱 Hausdorff 让 $\Delta_{Y}$ 是 $k$ -闭的；③ 紧因子的投影是闭映射。