弱 Hausdorff 的对角线与核

命题：对角线 $k$ -闭 $\iff$ 弱 Hausdorff； $\ker(f,g)$ 也 $k$ -闭

命题
依赖深度 layer 18
拓扑学
紧生成空间与弱 Hausdorff

prop.weak-hausdorff-k-closed · 命题 · 弱 Hausdorff · k-闭 · 对角线 · 紧生成

又称Exercise 2.36·Exercise 2.37

陈述

若 $X$ 弱 Hausdorff，则对角线 $X \subseteq X \times X$ 是 $k$ -闭的； $X$ 紧生成时反过来也对；
若 $Y$ 弱 Hausdorff、 $f, g : X \to Y$ 连续，则 $\ker(f, g) \subseteq X$ 是 $k$ -闭的。

说明

证明。 (1) 给紧 Hausdorff 的 $S$ 与连续 $h : S \to X \times X$ ， $S$ 紧 Hausdorff 于是 $h$ 的两个分量把 $S$ 送到紧块；弱 Hausdorff 说紧块的像闭 ✓，于是 $h^{-1}(X)$ 是两块闭集之交的逆像，闭 ✓ —— 即 $X$ 在 $X\times X$ 里 $k$ -闭 ✓。反过来（紧生成时）用「 $k$ -闭 $\iff$ 与每个紧块交闭」把弱 Hausdorff 性读出来 ✓。(2) $\ker(f,g)$ 是对角线沿连续映射 $(f,g) : X \to Y \times Y$ 的逆像 ✓， $k$ -闭性在逆像下保持 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

弱 Hausdorff 空间 → 本页定义引用

前提是弱 Hausdorff。
k-开、k-闭与 k-拓扑 → 本页定义引用

结论说的是对角线 $k$ -闭。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 2.36, Exercise 2.37

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