紧块的纤维积还是紧的fiber product compact

说明

证明。 记两个映射为 $f : S\to X$、$g : S'\to X$。关键是把纤维积写成对角线的原像：

• $S\times S'$ 紧 Hausdorff ✓；
• 由「弱 Hausdorff $\implies$ 对角是 $k$-闭的」，$\Delta_{X}$ 是 $k$-闭的；
• 而 $k$-闭集沿从紧 Hausdorff 空间出发的连续映射的拉回是闭集（这就是 $k$-闭的定义）：$(f,g)^{-1}(\Delta_{X})$ 在 $S\times S'$ 中闭 ✓。

于是 $S\times_{X} S'$ 是紧 Hausdorff 空间的闭子空间，故紧 Hausdorff（闭子空间紧、Hausdorff 的闭子空间 Hausdorff）。∎ ⭐ 这条就是「$\mathrm{CGWH}$ 里紧块相交还是紧块」的全部内容 —— 后面「弱 Hausdorff $\implies$ 拟分离」「$\mathrm{CGWH}$ 对有限积封闭」都得靠它。