紧生成空间是笛卡尔闭的

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 底空间保有限积推出
  紧生成空间的指数律 $\implies$ 底空间保有限积

  设 $X, Y \in \mathrm{Cond}$，$Z$ 是任意紧生成空间。逐步用三条同构：

  1. $\mathbf{Top}$ 里的指数律（紧生成空间是笛卡尔闭的）：

  $$C\bigl(k(X(\cdot) \times Y(\cdot)),\ Z\bigr) \;\cong\; C\bigl(X(\cdot),\ kC(Y(\cdot), Z)\bigr) ✓$$

  1. 内部 Hom 的函数空间刻画（$Z$ 紧生成时 $\operatorname{Hom}(X, \underline{Z}) \cong C(X(\cdot), Z)$），两次：

  $$\cong \operatorname{Hom}\bigl(X,\ \operatorname{Hom}(Y, \underline{Z})\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}\bigl(X \times Y,\ \underline{Z}\bigr) ✓$$

  1. 再用一次内部 Hom 刻画，并用 $\operatorname{Hom}(X \times Y, \underline{Z}) = (X \times Y)(\cdot)$ 的取值定义：

  $$\cong C\bigl((X \times Y)(\cdot),\ Z\bigr) ✓$$

  于是 $C\bigl(k(X(\cdot) \times Y(\cdot)), Z\bigr) \cong C\bigl((X \times Y)(\cdot), Z\bigr)$ 对一切紧生成 $Z$ 成立，由米田引理得 $k\bigl(X(\cdot) \times Y(\cdot)\bigr) \cong (X \times Y)(\cdot) ✓$。∎ ⚠️ 第一步必须在紧生成的世界里做：$\mathbf{Top}$ 一般不是笛卡尔闭的，不取 $k$-化时同构链在第一步就断了。

定义引用 1

• CG 的指数伴随 用到 本页定义引用

  伴随那条是笛卡尔闭的重新表述。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 紧开拓扑 → 本页定义引用

  指数对象里那个 $kC$ 就是紧开拓扑再取 $k$-化。

• 紧生成空间 → 本页定义引用

  定理说的是紧生成空间范畴。