商映射与局部紧空间作积quotient map product

商映射与局部紧因子作积仍是商映射

定理
依赖深度 layer 7
拓扑学
紧生成空间与弱 Hausdorff

thm.quotient-product · 拓扑 · 商映射 · 局部紧 · 乘积

又称商映射乘局部紧·商映射与积·quotient map product·局部紧因子·Theorem 2.3.2·Thm 2.3.2

陈述

设 $q : X \to Y$ 是商映射， $Z$ 是局部紧 Hausdorff 空间。则

q \times \mathrm{id}_{Z} : X \times Z \longrightarrow Y \times Z

也是商映射。

说明

⭐ 这是「紧生成空间对积封闭」那条的引擎，也是搜「商映射」「局部紧」时该落到的地方。

证明的走法（逆映射连续法）。 记 $W := (q \times \mathrm{id}_{Z})^{-1}(U)$ ，要证 $W$ 开。取一点 $(x, z) \in W$ ，记 $y = q(x)$ 。因为 $U$ 在 $Y \times Z$ 中开，可以挑出基本开集

V \times K \;\subseteq\; U, \qquad y \in V,\;\; z \in K,

其中 $V$ 开、 $K$ 是 $z$ 的紧邻域（局部紧 Hausdorff $\implies$ 每点有紧邻域基，可以要求 $K$ 落在任意给定的邻域里）。由 $q$ 是商映射， $q^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集，于是

q^{-1}(V) \times K \;\subseteq\; W

是 $(x, z)$ 的一个开邻域 —— 所以 $(x, z)$ 是 $W$ 的内点， $W$ 开。∎

⚠️ 局部紧这个条件不能省。 一般情形下「商映射乘 id」不是商映射：取 $q$ 是某条坏商、 $Z$ 是一个既不局部紧又不紧生成的空间，乘积的商拓扑会严格细于商空间应有的拓扑。

记法：有的把这条写成「 $Z$ 局部紧 Hausdorff $\implies$ 函子 $- \times Z$ 保商映射」。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

If $q : X \to Y$ is a quotient map and $Z$ is locally compact Hausdorff, then $q \times \mathrm{id}_Z : X \times Z \to Y \times Z$ is again a quotient map. For a point $(x,z)$ of the preimage of an open set one picks a basic open $V \times K \subseteq U$ with $K$ a compact neighbourhood of $z$ ; then $q^{-1}(V) \times K$ is an open neighbourhood of $(x,z)$ inside that preimage. Local compactness cannot be dropped. This is the engine behind "compactly generated spaces are closed under products".

谁指向它（入边）

定义引用 4

商拓扑 → 本页定义引用

定理说的是商映射 —— 也就是商拓扑那条满射。
积拓扑 → 本页定义引用

结论说的是乘积空间 $X \times Z \to Y \times Z$ 。
商拓扑 → 本页定义引用

定理说的是商映射。
积拓扑 → 本页定义引用

结论说的是乘积 $X \times Z \to Y \times Z$ 。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3

常见问法 1 条

商映射乘局部紧是什么定理也看紧生成空间对积封闭、商拓扑

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