k-开、k-闭与 k-拓扑k-ification

$k$ -开集与 $k$ -化（ $k$ -Topology）

定义
依赖深度 layer 17
拓扑学
紧生成空间与弱 Hausdorff

def.k-topology · 拓扑 · k-拓扑 · k-开 · k-化

又称k-拓扑·k拓扑·k-开·k-闭·k-化·k-ification·kX·Definition 2.3.3·Def 2.3.3

陈述

子集 $Y \subseteq X$ 叫 $k$ -开（ $k$ -闭）的，如果对每个连续映射 $f : S \to X$ （ $S$ 紧 Hausdorff）， $f^{-1}(Y)$ 在 $S$ 中开（闭）。

全体 $k$ -开集构成的拓扑叫 $X$ 上的 $k$ -拓扑；记 $kX$ 为「同一个集合、拓扑换成 $k$ -拓扑」的那个空间。

说明

$k$ -拓扑就是使所有连续映射 $S \to X$ （ $S$ 紧 Hausdorff）都连续的最终（最细）拓扑。它比原来的拓扑细 —— 开集变多了（原本开的当然还是 $k$ -开的）。

⭐ 紧生成 = 自己就是 $k$ -化： $X$ 紧生成 $\iff$ $kX = X$ （同一个拓扑空间）。所以 $k$ 是一个幂等的改造： $k(kX) = kX$ 。

一般情形下 $kX$ 与 $X$ 之间的恒等映射 $kX \to X$ 连续（拓扑变细了），但反方向不连续 —— 这个「往下走」的映射正是余反射的余单位 $\varepsilon_{X}$ 。

它指向谁（出边）

定义引用 6

弱 Hausdorff 的对角线与核用到本页定义引用

结论说的是对角线 $k$ -闭。
k-化与积用到本页定义引用

式子里两边的 $k$ 都是 $k$ -化。
kX 是紧空间的余极限用到本页定义引用

余极限的那条拓扑就是 $k$ -拓扑。
紧生成空间是余反射子范畴用到本页定义引用

余反射的函子 $k$ 就是换成 $k$ -拓扑。
k-化与积用到本页定义引用

两边的 $k$ 都是 $k$ -化。
弱 Hausdorff 的基本性质用到本页定义引用

「对角是 $k$ -闭」要先用上 $k$ -拓扑。

谁指向它（入边）

定义引用 2

紧生成空间 → 本页定义引用

$k$ -开集就是用「从紧 Hausdorff 空间进来的映射」去测。
商拓扑 → 本页定义引用

$k$ -拓扑是使所有这类映射都连续的最终（最细）拓扑 —— 与商拓扑是同一个构造。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.3

常见问法 1 条

什么是k拓扑也看紧生成空间、紧生成空间是余反射子范畴

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