紧生成空间的等价刻画

说明

证明的走法。 (1) $\iff$ (6) 是定义换一种说法：余极限就是「由全体映射决定」。

• (6) $\implies$ (2)：取 $Y = \coprod_{S \to X} S$（沿所有连续映射 $S \to X$，$S$ 紧 Hausdorff）。全体映射拼出 $Y \to X$，它显然满 —— 满的连续映射就是商映射。
• (2) $\implies$ (3)：紧 Hausdorff 空间本身局部紧。
• (3) $\implies$ (1)：商映射 $Z \twoheadrightarrow X$（$Z$ 局部紧 Hausdorff）把 $Z$ 的紧生成性传下去 —— 商是余极限，而余极限的余极限还是余极限。
• (4) $\iff$ (1)：这是「由映射决定拓扑」的逐字翻译：用 $S$ 是紧空间这一条，把 $f^{-1}(Y)$ 的开性从 $f(S)$ 拉回到 $S$ 上。
• (5) $\iff$ (4)：把「$X \to Y$ 连续」按定义展开成「开集的原像开」，再用 (4) 换成紧 Hausdorff 空间上的检验。

⭐ 测试空间统一取紧 Hausdorff 空间。 定义那一条与这里 (2)(3)(4)(6) 用的是同一族测试空间 —— 也就是说：$X$ 紧生成 $\iff$ 存在紧 Hausdorff 空间的不交并 $\coprod S \twoheadrightarrow X$ 是商映射 $\iff$ 存在局部紧 Hausdorff 空间 $Z \twoheadrightarrow X$ 是商映射。三个说法给出同一个范畴，用哪一条就看哪一条好算。