# Carathéodory 定理　`thm.caratheodory`
Carathéodory 定理：$\mu^{*}$-可测集构成 σ-代数，$\mu^{*}$ 在其上是完备测度
layer 16 · 定理 · 测度的构造 · 分析学
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设 $\mu^{*}$ 是 $X$ 上的外测度，$\mathcal{M}$ 是全体 $\mu^{*}$-可测集。则

1. **$\mathcal{M}$ 是一个 $\sigma$代数**；
2. **$\mu^*|_\mathcal{M}$ 是 $(X, \mathcal{M})$ 上的一个测度**（即 $\mu^{*}$ 在 $\mathcal{M}$ 上真的可加）；
3. 这个测度是**完备**的。

## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`prop.caratheodory-extension`](../nodes/prop.caratheodory-extension.md) 预测度还原

- …另有出边，续页见 [nodes/thm.caratheodory.3.md](./thm.caratheodory.3.md)

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.caratheodory.2.md](./thm.caratheodory.2.md)

refs: Halmos, Measure Theory, §11；Folland, Real Analysis, Theorem 1.11

外部：Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory%27s_extension_theorem

> 说明见 `notes/thm.caratheodory.md`

引用：`thm.caratheodory`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)