# L^∞ 的性质　`thm.linf-properties`
定理：$L^\infty$ 的五条基本性质
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**(a)** $\|fg\|_\infty \le \|f\|_\infty \|g\|_\infty$。若 $f \in L^1$、$g \in L^\infty$，则

$$\|fg\|_1 = \|f\|_1 \|g\|_\infty \iff |g(x)| = \|g\|_\infty \text{ a.e. on } \{f \ne 0\}$$

**(b)** $\|\cdot\|_\infty$ 是 $L^\infty$ 上的**范数**。

**(c)** $\|f_n - f\|_\infty \to 0 \iff$ 存在 $E \in \mathcal{M}$、$\mu(E^c) = 0$，使 $f_n \to f$ **在 $E$ 上一致收敛**。
> 陈述续见 [nodes/thm.linf-properties.2.md](./thm.linf-properties.2.md)


## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.linf-properties.3.md](./thm.linf-properties.3.md)

refs: Folland, Real Analysis, §6.1

> 说明见 `notes/thm.linf-properties.md`

引用：`thm.linf-properties`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)