# 有界 ⟹ g ∈ L^q　`prop.bounded-functional-gives-lq`
命题：若 $f \mapsto \int fg$ 在简单函数上有界，则 $g \in L^q$
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设 $g$ 在 $(X, \mathcal{M})$ 上可测，且对**每个有限支集的简单函数** $f$ 都有 $fg \in L^1$。记

$$M_g(g) := \sup \left\{ \, \left| \int fg \right| : f \in \Sigma,\ \|f\|_p = 1 \,\right\}$$

（$\Sigma$ $=$ 有限支集简单函数全体。）若 $M_g(g) < \infty$，且
> 陈述续见 [nodes/prop.bounded-functional-gives-lq.2.md](./prop.bounded-functional-gives-lq.2.md)


## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/prop.bounded-functional-gives-lq.3.md](./prop.bounded-functional-gives-lq.3.md)

## 它能推出什么 / 谁在用它
- …另有出边，续页见 [nodes/prop.bounded-functional-gives-lq.4.md](./prop.bounded-functional-gives-lq.4.md)

refs: Folland, Real Analysis, Theorem 6.14

> 说明见 `notes/prop.bounded-functional-gives-lq.md`

引用：`prop.bounded-functional-gives-lq`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)