# L^p 是 Banach 空间　`thm.lp-banach`
定理（Riesz–Fischer）：$1 \le p < \infty$ 时 $L^p$ 完备
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设 $1 \le p < \infty$。则 $L^p(X, \mathcal{M}, \mu)$ 关于范数 $\|\cdot\|_p$ 是**完备**的，即它是一个 **Banach 空间**。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`thm.minkowski`](../nodes/thm.minkowski.md) Minkowski 不等式 + [`thm.mct`](../nodes/thm.mct.md) 单调收敛定理 + [`thm.dct`](../nodes/thm.dct.md) 控制收敛定理：三角不等式 + MCT + DCT $\implies$ $L^p$ 完备　[proofs/imp.lp-banach.md](../proofs/imp.lp-banach.md)

- …另有入边，续页见 [nodes/thm.lp-banach.2.md](./thm.lp-banach.2.md)

refs: Folland, Real Analysis, Theorem 6.6

> 说明见 `notes/thm.lp-banach.md`

引用：`thm.lp-banach`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)