# 扩充实数 [−∞,+∞]　`def.extended-real`
扩充实数系 $\overline{\mathbb{R}}$（Extended Reals）
layer 13 · 定义 · 实数与极限 · 分析学
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在 $\mathbb{R}$ 上添两个记号 $+\infty$、$-\infty$，得到**扩充实数系**

$$\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \}$$

规定 $-\infty < x < +\infty$ 对一切 $x \in \mathbb{R}$ 成立，于是 $\overline{\mathbb{R}}$ 仍是全序集；并约定

$$x + (\pm\infty) = \pm\infty, \qquad 0 \cdot (\pm\infty) = 0$$

而 $\infty - \infty$ 与 $\infty / \infty$ **不定义**。

## 它能推出什么 / 谁在用它
- 被 [`def.measure`](../nodes/def.measure.md) 测度 用

- …另有出边，续页见 [nodes/def.extended-real.3.md](./def.extended-real.3.md)

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/def.extended-real.2.md](./def.extended-real.2.md)

refs: Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 1

> 说明见 `notes/def.extended-real.md`

引用：`def.extended-real`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)