极限的构造

极限 = 无限积 + 等化子

prop.limit-construction · 范畴论 · 极限 · 构造 · 积 · 等化子

又称极限的构造·构造极限·极限 = 积 + 等化子·完备范畴·积与等化子·小积 小等化子·Exercise 1.37·Exercise 1.35

陈述

设 D:I→CD : I \to \mathcal{C} 是小图。若 C\mathcal{C} 有 II 中对象为指标的所有积、以及一对平行映射的等化子，则 lim⁡D\lim D 存在，并且可以具体地造出来：

X′:=∏i∈ID(i),X′′:=∏α:i→jD(j),X' := \prod_{i \in I} D(i), \qquad X'' := \prod_{\alpha : i \to j} D(j),X=lim⁡D  ≅  eq⁡(  X′→  p    q  X′′  ),X = \lim D \;\cong\; \operatorname{eq}\Bigl(\; X' \xrightarrow[\;p\;]{\;q\;} X'' \;\Bigr),

其中两条映射 p,q:X′→X′′p, q : X' \to X'' 按分量定义为：pp 在 α\alpha-分量上取投影 X′→D(j)X' \to D(j)，qq 在 α\alpha-分量上取投影再复合 D(α)D(\alpha)：

pα:=prj,qα:=D(α)∘pri.p_{\alpha} := \mathrm{pr}_{j}, \qquad q_{\alpha} := D(\alpha) \circ \mathrm{pr}_{i}.

说明

⭐ 这条把「极限存在」变成了一句具体的话：只要 C\mathcal{C} 有足够多的积与等化子，所有极限就都有了。教科书说「完备范畴 = 有小积且有小等化子的范畴」，依据就是它。

为什么是这样。 一个锥 { gi:Y→D(i) }\{\, g_{i} : Y \to D(i) \,\} 等价于一条映射 g:Y→X′g : Y \to X'（积的泛性质）；而「gg 是锥」这个条件（对每条 α:i→j\alpha : i \to j 有 D(α)∘gi=gjD(\alpha) \circ g_{i} = g_{j}）恰好就是「p∘g=q∘gp \circ g = q \circ g」。所以锥 = 使 p,qp,q 相等的那族映射，而「最一般的这种映射」正是等化子的定义。

对偶地：余极限 = 无限余积 + 余等化子。

⭐ 实用价值：证明「某个范畴完备」时不用逐条图去造极限 —— 只要造出（小）积与等化子就够了（譬如 Set\mathbf{Set}、A-ModA\text{-}\mathbf{Mod}、Cond\mathrm{Cond} 都是这么验的）。

谁指向它（入边）

定义引用 3

参考

常见问法 1 条

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