单纯方法算层上同调

说明

在说什么。 层上同调的定义是「取内射消解、取截面、取上同调」，而内射消解无法计算（内射对象太大）。这条给出一个能算的替代品：把内射消解换成「自由 / 可表对象的消解」，逐层取截面之后得到一个单纯阿贝尔群（或链复形），它的同伦群就是 $H^{n}$。

为什么可行：$F_{n}$ 由可表对象组成时，截面 $\Gamma(X, F_{n})$ 是可以直接写下来的（就是 $F_{n}$ 在该对象上的值）。而两个消解之间的映射给出链同伦，所以算出来的同伦群与消解的选取无关。

⭐ 这就是 Godement 分解的现代形式，也是 $\infty$-范畴方法的入口：在 $\infty$-范畴的语言里，「超覆盖」被换成「$X$ 的单纯分解」，而上同调就是那个单纯对象的映射空间的同伦群。整个导出代数几何的层上同调计算都走这条路。

证明。 分两步。

• 超覆盖的每一项在 $\Gamma(X, -)$ 下零调。 $F_{n}$ 是可表层的直和，而 $\Gamma(X, h_{U}) = \operatorname{Hom}(X, U)$ 直接可算；「有截面 $\implies$ 高阶为零」那套（$\mathbb{Z}\cdot h_{X}$ 是投射对象，投射 $\implies$ 无环）保证 $H^{p}(\Gamma(X, F_{n})) = 0$（$p > 0$）。
• 于是 $F_{\bullet} \to M$ 就是一个「由 $\Gamma(X, -)$-零调对象组成的消解」。 把 Leray 零调性搬过来：$R\Gamma(X, M)$ 可以直接用 $\Gamma(X, F_{\bullet})$ 这个复形算，即 $H^{n}(X, M) = H^{n}\bigl(\Gamma(X, F_{\bullet})\bigr)$。

最后把链复形读成单纯阿贝尔群（Dold–Kan：单纯阿贝尔群的同伦群就是归一化链复形的上同调），就得到 $H^{n}(X, M) \cong \pi^{n}(\Gamma(X, F_{\bullet}))$。两个超覆盖之间的比较给出链同伦（投射性 / 已有的 Ext 论证），所以右边与超覆盖的选取无关。∎

📌 三个输入：单纯对象、单纯形范畴的定义（已有），以及 Čech 复形（已有的「便宜算法」）。这条把它们接成一台计算上同调的机器。