Čech 上同调是沿覆盖筛的余极限

$\check{H}^{n}(X, M) = \varinjlim_{R \in J(X)} H^{n}(R, M)$

命题
依赖深度 layer 18
同调代数
层上同调

prop.cech-as-colim · 同调代数 · Čech 上同调 · 覆盖筛 · 余极限

又称Čech 上同调是余极限·Exercise 7.46·Proposition 7.3.4

陈述

若 $X \in \mathcal{C}$ 、 $M$ 是阿贝尔预层，则 $\check{H}^{n}(X, M) = \varinjlim_{R \in J(X)} H^{n}(R, M)$ （沿 $X$ 上所有覆盖筛 $R$ 取滤过余极限）。

说明

证明。 两层意思：(a) 换覆盖不改变 Čech 复形（在筛的意义下）。 每个覆盖族 $\mathfrak{X}$ 生成一个筛 $R_{\mathfrak{X}}$ ，而 $\check{C}^{\bullet}(\mathfrak{X}, M) \to \check{C}^{\bullet}(R_{\mathfrak{X}}, M)$ 是同构 —— 筛版的 Čech 复形本来就是「把 $\mathfrak{X}$ 的交叠一字排开」，细化只是把重复的项并掉。于是「沿覆盖取余极限」与「沿筛取余极限」是同一个余极限（覆盖在筛里是共尾的）。 (b) 余极限与取同调交换。 $J(X)$ 这个偏序集是滤过的：任意两个筛 $R, R'$ 都有上界（取它们生成的筛，或直接取交），任意两个 $R \subseteq R'\subseteq R$ 之间的态射被夹成同一个。而 $\varinjlim$ 在 $\mathrm{Ab}$ 里正合（AB5），所以

\varinjlim_{R \in J(X)} H^{n}(R, M) = H^{n}\Bigl(\varinjlim_{R \in J(X)} \check{C}^{\bullet}(R, M)\Bigr),

而右边括号里那个余极限复形与按覆盖定义的 $\check{C}^{\bullet}(X, M)$ 逐项一致（(a) 说的就是「每个覆盖都已经被某个筛表示」）。两边一比即得。∎

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Čech 到上同调的谱序列推出

Cartan–Leray（固定覆盖） $\implies$ 取遍覆盖的谱序列

先对 $X$ 的每个覆盖 $\mathfrak{X}$ 用 Cartan–Leray：存在谱序列
$E^{p,q}_{2} = \check{H}^{p}\bigl(\mathfrak{X},\ H^{q}(M)\bigr) \;\Longrightarrow\; H^{p+q}(X, M) ✓$
（右端与覆盖无关，正是层上同调本身）✓。再沿所有覆盖取滤过余极限： $\check{H}^{p}(X, -) = \varinjlim_{\mathfrak{X} \in \operatorname{Cov}(X)} \check{H}^{p}(\mathfrak{X}, -)$ ✓（Čech 上同调就是沿覆盖取的余极限）。滤过余极限正合（保有限极限、保正合列），所以它把每一页的谱序列逐项保下来 —— 页、微分、以及收敛到同一个 $H^{p+q}(X, M)$ 都被保住 ✓。于是得到 $E^{p,q}_{2} = \check{H}^{p}(X, H^{q}(M)) \implies H^{p+q}(X, M)$ ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

Grothendieck 拓扑 → 本页定义引用

余极限沿 $\in J(X)$ 的覆盖筛取。
Čech 上同调 → 本页定义引用

它给出 Čech 上同调的另一种算法。

参考

Le Stum, Exercise 7.46

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