区间上没有高阶 Čech 上同调

命题： $M$ 常 $\implies \check{H}^{n}([0,1], M) = 0$ （ $n \ne 0$ ）

prop.cech-interval-vanishing · 命题 · Čech 上同调 · 区间 · 常层

又称Exercise 7.47

陈述

设 $M$ 是 $[0,1]$ 上的常阿贝尔群。则

\check{H}^{n}\bigl([0,1],\ M\bigr) = 0 \qquad (n \ne 0).

证明。 先看加细： $[0,1]$ 的任一开覆盖都有形如

[0,1] = \bigcup_{k=0}^{r} I_{k}, \qquad I_{k} \cap I_{k+1} = J_{k} \text{ 也是区间}

的加细 ✓（画个图即可）。对这种「区间拼区间」的覆盖，增广 Čech 复形可以写出显式同伦收缩 ✓，于是这个覆盖上的高阶 Čech 群为零 ✓。

而 Čech 上同调是沿覆盖取滤过余极限 ✓，加细上为零 $\implies$ 极限上为零 ✓。∎