Čech 上链的具体公式

命题：Cˇn(X,M)=∏M(Xi0×X⋯×XXin)\check{C}^{n}(\mathfrak{X}, M) = \prod M(X_{i_{0}} \times_{X} \cdots \times_{X} X_{i_{n}})

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又称Exercise 7.40

陈述

设 site C\mathcal{C} 有纤维积，X=(Xi→X)i∈I\mathfrak{X} = (X_{i} \to X)_{i \in I} 是一族态射，MM 是阿贝尔层。则

Cˇn(X,M)  =  ∏i0,…,inM(Xi0×X⋯×XXin).\check{C}^{n}(\mathfrak{X}, M) \;=\; \prod_{i_{0}, \ldots, i_{n}} M\bigl(X_{i_{0}} \times_{X} \cdots \times_{X} X_{i_{n}}\bigr).

说明

证明。 按定义 Cˇ∙(X,M)=Hom⁡Z(Z⋅X∙,M)\check{C}^{\bullet}(\mathfrak{X}, M) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot X_{\bullet}, M) ✓，而 Čech 脉的 nn 次项是 Xn=∐i0,…,inXi0×X⋯×XXinX_{n} = \coprod_{i_{0},\ldots,i_{n}} X_{i_{0}} \times_{X} \cdots \times_{X} X_{i_{n}} ✓。自由对象把余积换成直和、把取值写成 Hom：

Hom⁡Z(⨁i0,…,inZ⋅(Xi0×X⋯×XXin), M)=∏i0,…,inM(Xi0×X⋯×XXin)✓\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\Bigl(\bigoplus_{i_{0},\ldots,i_{n}} \mathbb{Z}\cdot\bigl(X_{i_{0}} \times_{X} \cdots \times_{X} X_{i_{n}}\bigr),\ M\Bigr) = \prod_{i_{0},\ldots,i_{n}} M\bigl(X_{i_{0}} \times_{X} \cdots \times_{X} X_{i_{n}}\bigr) ✓

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谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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