层上同调是同伦不变量

说明

证明第 1 条。 常值系数下可以用 Čech 模型（在紧 Hausdorff 上它就算出真上同调，在一般情形也足够比较）。

• 同伦 $H : X \times [0,1] \to Y$ 把 $Y$ 的覆盖拉到 $X \times [0,1]$ 上。用 $[0,1]$ 的有限区间分解 $[0,1] = \bigcup_{k} I_{k}$（相邻交叠也是区间）把它拆成有限段，于是对每个覆盖都能在 Čech 复形之间造出一个链同伦 $f^{$} \simeq g^{} —— 这一步的核心是「$[0,1]$ 的常值系数 Čech 上同调在正次数为零」（区间分解给出的增广 Čech 复形是可缩的）。
• 链同伦在同调上诱导同一个映射，故 $H^{n}(f) = H^{n}(g)$。

第 2 条。 设 $g$ 是 $f$ 的同伦逆，即 $f g \simeq \mathrm{id}_{Y}$、$g f \simeq \mathrm{id}_{X}$。由第 1 条，$H^{n}(fg) = H^{n}(\mathrm{id}_{Y}) = \mathrm{id}$，而 $H^{n}(fg) = H^{n}(f) \circ H^{n}(g)$（上同调是函子），同理另一边。于是 $H^{n}(f)$ 与 $H^{n}(g)$ 互逆，$H^{n}(Y, M) \cong H^{n}(X, M)$。∎

⭐ 这就是「层上同调是拓扑不变量」那句话的出处 —— 常值系数下，$H^{n}(-, M)$ 是同伦不变的，所以它可以拿来算空间的同伦类不变量（奇异上同调、de Rham 上同调都落在这一条上）。