用关联层算上同调

命题：RΓ(X,M∙)=RΓ(X‾,M∙)\mathrm{R}\Gamma(X, M^{\bullet}) = \mathrm{R}\Gamma(\underline{X}, M^{\bullet})

prop.cohomology-via-associated-sheaf · 命题 · 层上同调 · 关联层 · 整体截面

又称Exercise 7.36

陈述

设 X∈CX \in \mathcal{C}、X‾=hX#\underline{X} = h_{X}^{\#} 是它的关联层。则

RΓ(X, M∙)  =  RΓ(X‾, M∙),Hn(X‾, M∙)=Hn(X, M∙).\mathrm{R}\Gamma\bigl(X,\ M^{\bullet}\bigr) \;=\; \mathrm{R}\Gamma\bigl(\underline{X},\ M^{\bullet}\bigr), \qquad \mathrm{H}^{n}\bigl(\underline{X},\ M^{\bullet}\bigr) = \mathrm{H}^{n}\bigl(X,\ M^{\bullet}\bigr).

说明

证明。 对任何层 MM，由关联层的万有性质 Hom⁡(X‾,M)=M(X)=Hom⁡(X,M)\operatorname{Hom}(\underline{X}, M) = M(X) = \operatorname{Hom}(X, M) ✓，即 Γ(X,M)=Γ(X‾,M)\Gamma(X, M) = \Gamma(\underline{X}, M)。取内射消解 I∙I^{\bullet}，两边逐项相等 ✓，故导出函子相等 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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