预层在可表示对象上没有高次上同调

说明

证明。 取截面函子 $\Gamma(h_{X}, -)$：由 Yoneda 引理

而在预层范畴上，「逐点取值」$M \mapsto M(X)$ 是正合的 ✓（预层的核、像、余核都逐点算；$M(X)$ 就是一个普通的阿贝尔群）。 正合函子的右导出函子集中在 $0$ 次（用长度 $0$ 的「消解」$M \to M$ 即可看出）✓，于是 $H^{n}(h_{X}, M) = R^{n}\Gamma(h_{X}, M) = 0$（$n > 0$）✓。∎

⭐ 为什么值得单独说：因为这是「层化为什么必要」的最好说明 —— 在预层层面，可表示对象上根本没有高次上同调（一切正合）；一取层化，$\mathbb{Z}\cdot X$ 就不再是「取值」那个函子，高次才冒出来。层上同调的非平凡性，全部来自层的范畴里正合性被打破这一点。