高次上同调预层的关联层为零

命题： $n \ne 0$ 时 $\widetilde{H^{n}(M)} = 0$

命题
依赖深度 layer 18
同调代数
层上同调

prop.higher-cohomology-presheaf-zero · 命题 · 上同调预层 · 关联层 · 内射消解

又称Exercise 7.43

陈述

设 $M$ 是 site $\mathcal{C}$ 上的阿贝尔层、 $n \ne 0$ 。则预层

U \longmapsto H^{n}(U,\ M)

的关联层为零：它的层化是零层。

说明

证明。 取 $M$ 的一条内射消解 $I^{\bullet}$ ✓，则 $H^{n}(U, M) = H^{n}\Gamma(U, I^{\bullet})$ ✓。给一个上同调类 $s$ ，用它在某条覆盖的每一块上的代表上链 $c$ ：因为 $I^{\bullet}$ 作为复形在每个点处正合， $c$ 在局部是某个上链的边界 ✓ —— 于是 $s$ 限制到覆盖的每一块上都是 $0$ ✓，也就是说它在关联层里的芽为 $0$ ✓。∎

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 高次上同调预层没有 Čech 上同调推出

关联层为零 $\implies$ Čech 全为零

$H^{n}(M)$ 的关联层为零 ✓，而 Čech 上同调只依赖预层的层化（Čech 函子分解成两趟 $(-)^{+}$ ）✓ —— 零层上取不到非零的 Čech 上同调 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

层上同调 → 本页定义引用

命题说的是层上同调给出的那个预层。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.43

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