子范畴

子范畴与满子范畴（Subcategory）

def.subcategory · 范畴论 · 子范畴 · 满子范畴

又称子范畴·subcategory·满子范畴·Definition 1.1.5·Def 1.1.5

陈述

范畴 C\mathcal{C} 的子范畴 C′\mathcal{C}' 由以下数据组成：

  1. 对象的一个子类 Ob⁡(C′)⊆Ob⁡(C)\operatorname{Ob}(\mathcal{C}') \subseteq \operatorname{Ob}(\mathcal{C})；
  2. 对每对 X,Y∈C′X, Y \in \mathcal{C}'，一个子集 Hom⁡C′(X,Y)⊆Hom⁡C(X,Y)\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}'}(X, Y) \subseteq \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)；

要求这些态射对复合封闭、且包含每个对象的恒等态射。（X,YX, Y 之间的全部态射都取上时叫满子范畴。）

说明

⚠️ 子范畴不等于满子范畴：满子范畴是「对象取一部分，但态射一个不丢」；一般子范畴允许同时丢掉态射。

严格（strict）子范畴：恒等态射在子范畴里也必须是恒等态射。绝大多数场合默认如此。

例子：Ab↪Grp\mathbf{Ab} \hookrightarrow \mathbf{Grp} 是满子范畴（阿贝尔群之间的同态恰好就是它们作为群的同态）；CHaus↪Top\mathbf{CHaus} \hookrightarrow \mathbf{Top} 是满子范畴；Grp→Set\mathbf{Grp} \to \mathbf{Set} 不是子范畴（连对象都不是同一批集合）。

⭐ 「反射子范畴」「余反射子范畴」都是在满子范畴上再加一条：含入函子有伴随。

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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