表示函子

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 右伴随存在的判据推出
  伴随 $\implies$ 右伴随存在的判据

  （$\Longrightarrow$） 设 $F \dashv G$。则对每个 $Y \in \mathcal{D}$，

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y))$$

  右边是可表示函子，所以左边可表示。∎

  （$\Longleftarrow$） 设对每个 $Y$ 都能挑到一个 $G(Y) \in \mathcal{C}$ 与自然同构

  $$\alpha_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y))$$

  只在对象层拼出 $G$ 还不够，还要在态射层给出 $G(g)$。给定 $g : Y \to Z$，考虑复合

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y)) \xrightarrow{\ \alpha_{Y}^{-1}\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y) \xrightarrow{\ g \circ -\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Z) \xrightarrow{\ \alpha_{Z}\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Z))$$

  这是一条从可表示函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y))$ 到 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Z))$ 的自然变换。由米田引理，它由唯一的态射

  $$G(g) : G(Y) \to G(Z)$$

  给出。于是 $G$ 在态射层也定义好了。

  $G$ 是函子。 把 $G$ 的定义在 $g = 1_{Y}$ 处取出来：由于 $\alpha_{Y}^{-1}(1_{Y})$ 就是恒等截面，对应的态射是 $G(1_{Y}) = 1_{G(Y)}$。再取 $g \circ h$，三段拼接与先拼后作用给出同一个自然变换，用米田引理的双射唯一性得 $G(g \circ h) = G(g) \circ G(h)$。

  $\alpha$ 是自然的。 $G$ 的定义本身就让下面的方块交换（左边取 $g \circ -$，右边取 $- \circ G(g)$）：

  $$\begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(F(-), Y) & \xrightarrow{\ \alpha_{Y}\ } & \operatorname{Hom}(-, G(Y)) \\ \downarrow\scriptstyle{g \circ -} & & \downarrow\scriptstyle{- \circ G(g)} \\ \operatorname{Hom}(F(-), Z) & \xrightarrow{\ \alpha_{Z}\ } & \operatorname{Hom}(-, G(Z)) \end{array}$$

  于是每个 $\alpha_{Y}$ 都是自然同构，$F \dashv G$。∎

  这条把「造右伴随」化归成「对每个 $Y$ 找一个表示对象」。米田引理在这里做了关键一步：态射层的 $G(g)$ 是从自然变换里读出来的，不用自己拼。

定义引用 10

• 遗忘函子可表示 用到 本页定义引用

  结论是「可表示」。

• 解集函子可表示 用到 本页定义引用

  解集函子可表示。

• 米田引理 用到 本页定义引用

  引理里的 $h^{X} = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -)$ 正是那个可表示函子。

• 表示的两个定义等价 用到 本页定义引用

  定理的左右两边都是「被 $X$ 表示」这件事的说法。

• 右伴随存在的判据 用到 本页定义引用

  判据的右边说的是 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y)$ 可表示。

• Giraud 定理 用到 本页定义引用

  第 2 条的关键词是「层都可表示」。

• 可表示性的下降 用到 本页定义引用

  引理说的是「可表示性可以从覆盖的一块块传回整体」。

• 可表函子保所有极限 用到 本页定义引用

  前提是可表函子 $F \cong \operatorname{Hom}(X,-)$。

• 截面函子 用到 本页定义引用

  它就是可表示预层 $h_{X}$ 的 $\operatorname{Hom}$ 函子。

• 有限表现对象 用到 本页定义引用

  用的函子是可表函子 $h^{X}$。

谁指向它（入边）

定义引用 5

• 函子 → 本页定义引用

  被表示的东西 $F$ 本身就是一个函子 $\mathcal{C} \to \mathbf{Set}$。

• 范畴 → 本页定义引用

  $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -)$ 是对范畴 $\mathcal{C}$ 取的 Hom 函子。

• 映射 → 本页定义引用

  万有条件里的 $\exists! f : X \to Y$ 与 $F(f)(s) = t$ 都是函数层的话。

• 自然变换 → 本页定义引用

  第二种定义写的是 $F \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -)$，这个 $\cong$ 是自然同构。

• 元素范畴 → 本页定义引用

  万有元素 $(X, s)$ 就是元素范畴 $\operatorname{el}(F)$ 的始对象。