元素范畴

元素范畴（Category of Elements）

定义
依赖深度 layer 11
范畴论
单满、子对象与像

def.elements-category · 范畴论 · 泛性 · 始对象

又称元素范畴·category of elements·el(F)·泛元素·universal element

陈述

函子 $F : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ 的元素范畴 $\operatorname{el}(F)$ 以

\bigl\{(Y, t) : Y \in \mathcal{C},\ t \in F(Y)\bigr\}

为对象，从 $(Y, t)$ 到 $(Z, u)$ 的态射取使 $F(f)(t) = u$ 的 $f : Y \to Z$ 。

称 $(X, s)$ 是 $F$ 的泛元素，如果它是 $\operatorname{el}(F)$ 的始对象。

说明

这条把「泛」这个字一次说清：泛 = 某个辅助范畴里的始对象（或终对象）。于是「泛锥」「泛分解」「泛元素」其实是同一句套话的三次应用。

例： $\mathbb{Z}$ 是环范畴的始对象，所以说它「在所有环里泛」；空图上的泛锥就是终对象；极限就是锥范畴的终对象。

它指向谁（出边）

定义引用 3

表示函子用到本页定义引用

万有元素 $(X, s)$ 就是元素范畴 $\operatorname{el}(F)$ 的始对象。
切片范畴用到本页定义引用

切片范畴就是元素范畴搬到预层上：把 $T(X)$ 的元素当元素。
逗号范畴用到本页定义引用

元素范畴是逗号范畴的特例：把 $G$ 取成 $\mathbf{1} \to \mathbf{Set}$ 。

谁指向它（入边）

定义引用 2

映射 → 本页定义引用

元素范畴的对象是 $(Y, t)$ ， $t \in F(Y)$ ；把 $F$ 看成函数之后「元素」才有意义。
锥 → 本页定义引用

「泛 = 辅助范畴的始 / 终对象」正是锥的「泛」的来源：极限就是锥范畴的终对象。

参考

Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, III.7

常见问法 3 条

什么是泛性质也看极限、表示函子
什么是终对象和始对象也看终对象 / 始对象、极限
逗号范畴是什么也看逗号范畴、切片范畴

同一星团的其他概念 6 个

继续

在星图里打开「元素范畴」　·　全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　 English entry　·　读图指南与记号表