单态射的切片刻画

命题： $f$ 单 $\iff$ $\mathcal{C}/Y \to \mathcal{C}/X$ 全忠实

prop.slice-fully-faithful-mono · 命题 · 单态射 · 满态射 · 切片范畴 · 全忠实

又称Exercise 1.32

陈述

态射 $f : Y \to X$ 是单态射 $\iff$ 沿 $f$ 的切片函子

\mathcal{C}/Y \longrightarrow \mathcal{C}/X, \qquad (A \to Y) \longmapsto (A \to Y \to X)

是全忠实的。对偶地： $f$ 是满态射 $\iff$ $X\backslash\mathcal{C} \to Y\backslash\mathcal{C}$ 全忠实。

证明。 该函子在 Hom 集上就是包含映射（两边都是 $\operatorname{Hom}(A, B)$ 的子集），所以忠实自动成立 ✓，只需看满。

$(\Longrightarrow)$ 给 $v : A \to B$ 与 $b \circ v = f \circ a$ ：由 $f$ 单得 $b \circ v = a$ ✓，即 $v$ 是 $/Y$ 里的态射 ✓。

$(\Longleftarrow)$ 若 $f g = f h$ ，取 $a = g$ 、 $b = 1_{Y}$ ：在 $/X$ 里 $h$ 与 $g$ 都是同一对对象之间的态射，由忠实得 $g = h$ ✓。∎