子对象

子对象（Subobject）

定义
依赖深度 layer 14
范畴论
单满、子对象与像

def.subobject · 范畴论 · 子对象 · 拉回

又称子对象·subobject·子对象之交·原像·Definition 1.3.10·Def 1.3.10

陈述

把单态射 $Y \rightarrowtail X$ 看作 $X$ 的一个子对象，记 $Y \subseteq X$ 。两个子对象的交与原像都用拉回定义：

Y \cap Z := Y \times_{X} Z, \qquad f^{-1}(Y) := Y \times_{X} X'

（对 $Y, Z \subseteq X$ 与任意 $f : X' \to X$ ；存在时才有定义）。

说明

把「子集」换成「单态射」，好处是不再依赖元素 —— 于是这套语言可以照搬到没有元素的范畴里去。「交」变成拉回、「原像」也变成拉回，两种操作合成了一个： $Y \cap Z$ 解的是「既在 $Y$ 里又在 $Z$ 里」的部分， $f^{-1}(Y)$ 解的是「 $y = f(x)$ 有解」的部分。

它指向谁（出边）

定义引用 3

子对象构成有界格用到本页定义引用

命题说的是子对象全体构成有界格。
像 / 余像用到本页定义引用

像被定义为 $Y$ 的子对象，即一个单态射 $I \rightarrowtail Y$ 。
过滤用到本页定义引用

过滤是一族子对象 $F^{n}M \subseteq M$ 。

谁指向它（入边）

定义引用 2

单态射 / 满态射 / 同构 → 本页定义引用

子对象就是一个单态射 $Y \rightarrowtail X$ —— 用「可以嵌入」代替「是子集」。
纤维积 / 纤维余积 → 本页定义引用

子对象的交与原像都是用纤维积（拉回）定义的。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1

常见问法 2 条

拉回和推出是什么也看纤维积 / 纤维余积、极限
单态射和满态射是什么也看单态射 / 满态射 / 同构、层中单满即同构

同一星团的其他概念 6 个

继续

在星图里打开「子对象」　·　全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　 English entry　·　读图指南与记号表