切片里的覆盖筛

命题： $R$ 在 $\mathcal{C}/T$ 里覆盖 $\iff$ $\hat j_{T!}R$ 在 $\mathcal{C}$ 里是覆盖筛

命题
依赖深度 layer 14
范畴论
拓扑斯

prop.slice-covering-sieve · 命题 · 切片范畴 · 覆盖筛 · site 的态射

又称Exercise 3.62

陈述

设 $\mathcal{C}$ 是 site、 $T \in \widehat{\mathcal{C}}$ 、 $s \in T(X)$ 。则 $s$ 上的一个筛 $R$ 在 $\mathcal{C}/T$ 里是覆盖 $\iff$ $\hat j_{T!}R$ 是 $X$ 在 $\mathcal{C}$ 里的覆盖筛。

说明

证明。 两边都是「沿 $R$ 的余锥能不能覆盖」这件事的翻译 ✓： $\mathcal{C}/T$ 里的覆盖由 $\mathcal{C}$ 的覆盖沿 $j_{T}$ 拉来，而 $j_{T!}$ 正是把 $\mathcal{C}/T$ 里的筛搬回 $\mathcal{C}$ 的函子 ✓。 ⚠️ 但 $j_{T!}$ 一般不左正合 —— 所以这条给不出 site 的态射（这正是为什么后面要用 $j_{T}$ 的余连续性去造拓扑斯态射）。∎

谁指向它（入边）

推出 1

切片拓扑斯 ⟹ 本页推出

切片拓扑斯 $\implies$ 切片里的覆盖筛判据

由「切片拓扑斯」那条， $j_{T}$ 余连续、 $\widetilde{\mathcal{C}/T} \simeq \widetilde{\mathcal{C}}/\widetilde{T}$ ✓，于是 $\mathcal{C}/T$ 里的覆盖就是 $\mathcal{C}$ 的覆盖沿 $j_{T}$ 拉来的 ✓；把筛 $R$ 沿 $j_{T!}$ 推回去即得判据 ✓。∎

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.62

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