内 Hom 的取值

命题：Hom⁡Z(M,N)(X)=Hom⁡Z(jX−1M,jX−1N)\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N)(X) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(j_{X}^{-1}M, j_{X}^{-1}N\bigr)

prop.internal-hom-slice-value · 命题 · 内 Hom · 切片拓扑斯 · 伴随

又称Exercise 7.60·Exercise 3.66

陈述

设 T\mathcal{T} 是拓扑斯、X∈TX \in \mathcal{T}、M,NM, N 是阿贝尔群层。则

Hom⁡Z(M,N)(X)=Hom⁡Z(jX!jX−1M, N)=Hom⁡Z(jX−1M, jX−1N)=Hom⁡Z(M, jX∗jX−1N).\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N)(X) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(j_{X!}j_{X}^{-1}M,\ N\bigr) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(j_{X}^{-1}M,\ j_{X}^{-1}N\bigr) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(M,\ j_{X*}j_{X}^{-1}N\bigr).

对一个测试对象 ZZ 也一样：Hom⁡(X,N)(Z)=Hom⁡Z(jZ−1X, jZ−1N)\operatorname{Hom}(X, N)(Z) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(j_{Z}^{-1} X,\ j_{Z}^{-1}N\bigr)（只是把 XX 换成 ZZ 那一对伴随）。

说明

证明。 每一步都是一次伴随：内 Hom 的取值 Hom⁡Z(M,N)(X)=Hom⁡Z(M,N)(1X)\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M,N)(X) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N)(\mathbf{1}_{X}) 与 Hom⁡Z(jX−1M,jX−1N)\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(j_{X}^{-1}M, j_{X}^{-1}N) 之间用 jX!⊣jX−1j_{X!} \dashv j_{X}^{-1} 搭桥 ✓，jX−1⊣jX∗j_{X}^{-1} \dashv j_{X*} 则把中间的 Hom 换成最后一式 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

同一星团的其他概念 36 个

继续

在星图里打开「内 Hom 的取值」　·　 全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　 读图指南与记号表