切片上的正合左伴随

命题：jX!⊣jX−1j_{X!} \dashv j_{X}^{-1} 且 jX!j_{X!} 正合

prop.abelian-slice-adjunction · 命题 · 切片拓扑斯 · 正合左伴随 · 阿贝尔群

又称Exercise 7.57

陈述

设 T\mathcal{T} 是拓扑斯、X∈TX \in \mathcal{T}。则函子

jX−1:T(Ab)⟶T/X(Ab)j_{X}^{-1} : \mathcal{T}(\mathbf{Ab}) \longrightarrow \mathcal{T}/X(\mathbf{Ab})

有左伴随 jX!j_{X!}，而且 jX!j_{X!} 正合。

说明

证明。 预层情形有显式公式

jS!M(U)=⨁s:U→SM(s)✓j_{S!}M(U) = \bigoplus_{s : U \to S} M(s) ✓

它明显是 jS−1j_{S}^{-1} 的左伴随 ✓，正合性来自「⨁\bigoplus 与拉回交换」✓。一般拓扑斯上把两边层化即得 ✓（正合性对层化保持，因为层化正合）✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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