切片的投影公式

命题： $j_{X!}(M \otimes j_{X}^{-1}N) = j_{X!}M \otimes N$

命题
依赖深度 layer 20
范畴论
拓扑斯

prop.slice-shriek-projection · 命题 · 切片拓扑斯 · 投影公式 · 张量积 · 伴随

又称Exercise 7.61

陈述

设 $\mathcal{T}$ 是拓扑斯、 $X \in \mathcal{T}$ 、 $M, N$ 是阿贝尔群层。则

j_{X!}\bigl(M \otimes_{\mathbb{Z}} j_{X}^{-1}N\bigr) = j_{X!}M \otimes_{\mathbb{Z}} N, \qquad j_{X!}\bigl(j_{X}^{-1}M \otimes_{\mathbb{Z}} N\bigr) = M \otimes_{\mathbb{Z}} j_{X!}N.

特别地

M\cdot X \;:=\; M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\cdot X \;=\; j_{X!}j_{X}^{-1}M.

说明

证明。 投影公式是「左伴随与封闭幺半结构相容」的一般现象：把两边的 Hom 用 $j_{X!} \dashv j_{X}^{-1}$ 与张量–内 Hom 伴随对到同一处，由米田引理得同构 ✓。最后一式把 $N = \mathbb{Z}$ 代入并记住 $j_{X!}\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\cdot X$ ✓。∎

谁指向它（入边）

推出 1

切片左伴随作用在 Z 上、拉回与内 Hom、张量积相容 ⟹ 本页推出

伴随 + 张量相容 $\implies$ 切片的投影公式

把两边对到同一处 Hom：用 $j_{X!} \dashv j_{X}^{-1}$ 把左边的 Hom 换到 $\operatorname{Hom}(M \otimes j_{X}^{-1}N, j_{X}^{-1}-)$ ，再用 $f^{-1}$ 与张量积的相容性 ✓，由米田引理得同构 ✓。最后一式取 $N = \mathbb{Z}$ ，并用 $j_{X!}\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\cdot X$ ✓。∎

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.61

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