张量与 RHom 的配对

命题： $M \otimes^{\mathbf{L}} \operatorname{RHom}(P, N) \to \operatorname{RHom}(\operatorname{RHom}(M, P), N)$

命题
依赖深度 layer 19
同调代数
阿贝尔层

prop.tensor-rhom-natural-map · 命题 · 导出范畴 · 内部 Hom · 张量

又称张量与 RHom 的配对·Exercise 8.16

陈述

设 $\mathcal{T}$ 是拓扑斯， $M, N, P$ 是 $\mathcal{T}$ 中的阿贝尔群。则存在自然映射

M \otimes^{\mathbf{L}}_{\mathbb{Z}} \operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(P,\ N) \longrightarrow \operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(M,\ P),\ N\bigr).

说明

证明（由两条配对拼出来）。

求值配对： $\operatorname{RHom}(M, P) \otimes^{\mathbf{L}} M \to P$ （把映射作用在元素上，由内部 Hom 与导出张量的伴随给出）✓；
复合配对： $P \otimes^{\mathbf{L}} \operatorname{RHom}(P, N) \to N$ ，同理 ✓。

把两者张量起来：

M \otimes^{\mathbf{L}} \operatorname{RHom}(M, P) \otimes^{\mathbf{L}} \operatorname{RHom}(P, N) \longrightarrow P \otimes^{\mathbf{L}} \operatorname{RHom}(P, N) \longrightarrow N.

再用内部 Hom 与导出张量的伴随（ $A \otimes^{\mathbf{L}} X \to N$ 等价于 $X \to \operatorname{RHom}(A, N)$ ），取 $A = \operatorname{RHom}(M, P)$ 、 $X = M \otimes^{\mathbf{L}} \operatorname{RHom}(P, N)$ ，上面这个映射一一对应于

M \otimes^{\mathbf{L}} \operatorname{RHom}(P, N) \longrightarrow \operatorname{RHom}\bigl(\operatorname{RHom}(M, P),\ N\bigr) ✓

自然性来自两层配对都自然（伴随同构对三个变量都自然）✓。∎

⚠️ 一般不是同构 —— 要它成为同构需要额外的有限性 / 对偶条件。这条给的是自然映射，用处在于把「对偶的 RHom」换成「张量积的 RHom」，从而可以用自由消解去算。

谁指向它（入边）

定义引用 2

内 Hom → 本页定义引用

映射的两端都由内部 Hom（的导出版本）写成。
阿贝尔层的张量积 → 本页定义引用

映射左边用到拓扑斯上阿贝尔层的张量积（导出版本）。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.3

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