自由对象的张量积

命题： $\mathbb{Z}\cdot X \otimes \mathbb{Z}\cdot Y \cong \mathbb{Z}\cdot(X \times Y)$

prop.free-sheaf-tensor · 命题 · 张量积 · 自由对象 · 积 · 米田

又称Exercise 5.29

陈述

设 $\mathcal{T}$ 是拓扑斯、 $X, Y \in \mathcal{T}$ 。则

\mathbb{Z}\cdot X \;\otimes_{\mathbb{Z}}\; \mathbb{Z}\cdot Y \;\cong\; \mathbb{Z}\cdot (X \times Y).

证明（米田）。 对任意 $N \in \mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ ，

\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}\cdot X \otimes \mathbb{Z}\cdot Y,\ N\bigr) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}\cdot X,\ \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot Y, N)\bigr) \cong \operatorname{Hom}\bigl(X,\ \operatorname{Hom}(Y, N)\bigr) \cong \operatorname{Hom}(X \times Y,\ N) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}\cdot(X \times Y),\ N\bigr) ✓

（第一、三步是张量–内 Hom 伴随，第二、四步是自由对象的万有性质，中间一步是 $X \times Y$ 的泛性质。）对一切 $N$ 成立，由米田引理即得同构 ✓。∎

⭐ 读法：自由对象把拓扑斯里的积翻译成阿贝尔群层里的张量积。