内射复形就是导出范畴

$K^{+}(\mathcal{I}) \simeq D^{+}(\mathcal{A})$

thm.k-plus-injectives · 同调代数 · 导出范畴 · 内射消解 · 等价

又称内射复形等价导出范畴·K+(I) 等价 D+(A)·Theorem 7.2.6·Thm 7.2.6

陈述

若 $\mathcal{A}$ 有足够多内射对象，则含入函子

\mathbf{K}^{+}(\mathcal{I}) \xrightarrow{\;\sim\;} D^{+}(\mathcal{A})

是范畴等价。对偶地：有足够多投射对象时 $\mathbf{K}^{-}(\mathcal{P}) \xrightarrow{\;\sim\;} D^{-}(\mathcal{A})$ 。

记 $\mathbf{K}^{+}(\mathcal{I})$ 为上有界内射复形模同伦构成的范畴。这条说：要算 $D^{+}(\mathcal{A})$ 里的东西，只需要看内射复形。

证明：全忠实 + 本质满。

全忠实：源与靶都是 $C^{+}(\mathcal{I})$ 里的复形，由「上有界内射复形里 Hom 就是导出 Hom」直接得 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{K}}(I^{\bullet}, J^{\bullet}) = \operatorname{Hom}_{D}(I^{\bullet}, J^{\bullet})$ ，所以含入在 Hom 上是双射。
本质满：任给 $K^{\bullet} \in C^{+}(\mathcal{A})$ ，由「足够多内射」可逐项提升，造出由单射组成的内射消解 $K^{\bullet} \rightarrowtail I^{\bullet}$ （同伦范畴里每步用内射性延拓态射即可，从上往下递推）。消解是拟同构，于是在 $D^{+}(\mathcal{A})$ 里是同构 —— $K^{\bullet}$ 与 $I^{\bullet}$ 同构。

⭐ 实用价值：这就是「用内射消解算右导出函子」的合法性来源 —— 右导出函子 $RF$ 的定义本来就要求把复形换成内射复形，这条保证了那一侧的范畴就是导出范畴本身，替换不会丢信息。