范畴嵌入复形

说明

证明。 1. 复形之间的态射是 $\mathbb{Z}$ 指标的一族映射 $f^{n} : [M]^{n} \to [N]^{n}$ 且与微分交换；而 $[M]$、$[N]$ 只在 $0$ 次非零，微分又是零，交换性自动成立 ✓。于是

即全忠实 ✓。 2. 复形范畴里的极限与余极限逐项计算（见「复形范畴的性质」）。逐项看：$0$ 次上得到原图在该处的极限（对 $[M_{i}]$ 逐项取极限，$0$ 次那一项恰是 $\lim M_{i}$）✓；其余次上得到「一堆零对象的极限」—— 而 $0$ 既是始对象又是终对象，故那些极限与余极限仍是 $0$ ✓。于是 $[\lim M_{i}] = \lim [M_{i}]$，$[\varinjlim M_{i}] = \varinjlim [M_{i}]$ ✓。∎

⭐ 用处：「对象」可以当成「退化成一项的复形」来看。于是「$\mathcal{C}$ 里的构造」与「$\mathcal{C}(\mathcal{C})$ 里的构造」可以自由互相搬运，短正合列 $0 \to M \to N \to P \to 0$ 与两项复形的正合列不再需要区分。